Théories des jeux

Le document commence par présenter une typologie complète des différents types de jeux, distinguant notamment les jeux à information parfaite et imparfaite, symétriques et asymétriques. Une attention particulière est portée aux jeux en forme normale (ou stratégique), avec des exemples classiques comme le dilemme du prisonnier ou la bataille des sexes. Vous apprendrez à représenter ces jeux matriciellement et à identifier leurs équilibres de Nash, ces profils stratégiques où aucun joueur n'a intérêt à dévier unilatéralement. Ces concepts de base sont essentiels pour aborder les développements plus avancés.

Une partie importante du cours est consacrée aux jeux de Gale-Stewart et à leur détermination, un résultat profond reliant la théorie des jeux à la théorie descriptive des ensembles. Le PDF explique en détail le principe d'induction bien-fondée et son rôle crucial dans l'analyse des jeux infinis. L'introduction aux ordinaux permet de comprendre comment étendre les raisonnements par récurrence au-delà du dénombrable, une compétence précieuse pour traiter des situations stratégiques complexes.

Le cœur du document explore les jeux combinatoires impartiaux comme le célèbre jeu de Nim, où les mathématiques pures rencontrent la stratégie gagnante. Vous découvrirez comment la fonction de Grundy et le théorème de Sprague-Grundy permettent de déterminer systématiquement les positions gagnantes. Contrairement à des présentations élémentaires, ce cours aborde également les jeux partisans, plus généraux, où les coups disponibles peuvent différer selon les joueurs. Ces outils sont particulièrement utiles en informatique théorique et en conception d'algorithmes.

Pour consolider les apprentissages, le PDF propose une série d'exercices variés, allant des applications directes du cours à des problèmes plus ouverts stimulant la réflexion stratégique. Ces exercices couvrent les différents chapitres et permettent de vérifier sa compréhension des concepts clés comme la détermination des jeux, le calcul des stratégies optimales ou l'analyse des jeux combinatoires. Des indications et éléments de solution aident à progresser face aux difficultés.

Télécharger ce cours complet vous donnera accès à une introduction rigoureuse à la théorie mathématique des jeux. Que vous soyez étudiant en mathématiques, chercheur en économie théorique ou développeur d'algorithmes compétitifs, ce document vous fournira les fondements nécessaires pour modéliser et résoudre des problèmes stratégiques complexes. La clarté des explications et la profondeur mathématique en font une ressource précieuse pour quiconque s'intéresse aux interactions stratégiques formalisées.